Seja um cilindro equilátero de altura 2R e uma esfera de raio R
como mostra a figura (Fig-1).
Retirando do cilindro os dois cones brancos, restando um
sólido verde. Vamos mostrar que as secções do sólido verde e da esfera
produzidas por um plano paralelo às bases do cilindro possuem a mesma área.
O plano α
é o plano paralelo e coincidente à base do cilindro (é o plano da base,
referência). E seja o plano β, qualquer,
paralelo ao plano α que
secciona o sólido verde e esfera.
Vamos demonstrar que as duas áreas, em azul, são iguais:
Cilindro
A área da coroa é dada por:
Esfera
A área do círculo é dada por:
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OCD, tem-se:
Logo,
Portanto,
Princípio de (Bonaventura)
Cavalieri estabelece que: Dois
sólidos que tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano
gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume.
Retornando ao nosso
problema.
Qualquer que seja a posição do plano β, temos sempre a igualdade
Então, de acordo com Cavalieri, a esfera é o sólido (em
verde) possuem o mesmo volume. Em outras
palavras: o volume da esfera é igual ao volume do sólido que sobrou ao
retirarmos os dois cones do volume do cilindro.
Demonstração da fórmula do Volume da Esfera, utilizando o
conceito de integral.
Por Pitágoras:
O volume diferencial é dado por:
Logo,
