domingo, 17 de dezembro de 2017

FUVEST – Funções-Ex.Resolvidos

EX-01 (FUVEST 2000)
a) Esboce, para x real, o gráfico da função f(x) = |x-2| + |2x +1| ‒ x ‒ 6. O símbolo |a| indica o valor absoluto de um número real a e é definido por |a| = a, se a ≥ 0 e |a| = ‒ a, se a < 0.

b) Para que valores reais de x, f(x) > 2x + 2.


Solução:

a)

b)



EX-02 (FUVEST 2004)
Seja m ≥ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x² ‒ 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.

a) Esboçar no plano cartesiano representado ao lado, os gráficos de f e g quando m = 1/4 e m = 1.

b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2.

c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x).



Solução:
a)
f(x) = x² ‒ 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.

x 0, f(x) = x² 2x + 1 = (x 1)²
x < 0, f(x) = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

m = 1/4,  g(x) = 1/4x + 2/4 = 1/4x + 1/2
m = 1,  g(x) =  x + 2

Portanto, o gráfico fica:



b)
f(x) = g(x), m = 1/2.

f(x) = x² 2|x| + 1
g(x) = mx + 2m. = x/2 + 1




c)
As raízes de f(x) = g(x) são as abscissas dos pontos onde os gráficos de f e g se interceptam.
Sendo f(x) = x² ‒ 2|x| + 1 e g(x) = mx + 2m.

Variando m, temos:




Resposta:

Para m = 0, a equação possui duas raízes reais (‒1, 1).

Para m = 1/2, a equação possui três raízes reais.

Para 0 < m < 1/2 , a equação possui quatro raízes reais.

Para m > 1/2, a equação possui duas raízes reais. 




EX-03 (FUVEST 2005)
Seja f(x) = ax² + (1-a)x + 1, onde a é um número real diferente de zero.
Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x0 = 0 são reais e o número x = 3 pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes.

Solução:
Como x = 3 pertence ao intervalo entre as raízes, temos as seguintes possibilidades:


Observamos que o produto a.f(x) é negativo em ambas as possibilidades; então podemos escrever que:



As raízes são a = 0 e a = ‒ 2/3; como f(x) é uma função do segundo grau, devemos ter que “a” é diferente de zero.



Portanto, a resposta é:  [‒ 2/3, 0 [


Outra maneira de analisar os valores de “a” para que a.f(x) ≤ 0.

A resposta é:  [‒ 2/3, 0 [



EX-04 (FUVEST 2006)
Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x-1)+1 para todo o número real x.

a) Calcule g(3)
b) Determine f(x), para todo x real.
c) Resolva a equação g(x) = 8.

Solução:
Dados –
1)      f(ax) = af(x), quaisquer a, x pertencentes a reais
2)      f(4) = 2
3)      g(x) = f(x-1)+1, qualquer x pertencente a reais


a)

b)


c)



EX-05 (FUVEST 2007)
a) Represente, no sistema de coordenadas desenhado na folha de respostas ao lado, os gráficos das funções f(x) = |4 ‒ x²| e g(x) = (x + 7)/2
b) Resolva a inequação |4 ‒ x²| ≤ (x + 7)/2


Solução:

a)
|4 ‒ x²| = |‒ x² + 4|

Se ‒ x² + 4 = 0, então as raízes são ‒ 2 e 2.  Portanto, temos:





b)
Para x ≤ 2 ou x ≥ 2, tem-se

‒ 4 + x² = (x + 7)/2  ↔  ‒ 8 + 2x² = x + 7  ↔ 2x² - x – 15 = 0  ↔  (x + 5/2)(x ‒ 3) = 0  ↔

↔  x = 5/2 ou x = 3

Parra ‒ 2 ≤ x ≤ 2, tem-se:

4 ‒ x² = (x + 7)/2  ↔  8 ‒ 2x² = x + 7  ↔  ‒ 2x² ‒ x + 1 = 0  ↔  (x + 1)(x ‒1/2) = 0  ↔

↔  x = 1 ou x = 1/2


Colocando as abscissas no gráfico, tem-se:



Portanto, f(x) ≤ g(x) se, somente se,




EX-06 (FUVEST 2009)
Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x² + mx + 2.
Nestas condições:
a) Determine em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).
b) Determine os valores de m ϵ R para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ϵ R: y ≥ 1}.
c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ϵ R: y ≥ 1} e, além disso, f é crescente no conjunto {y ϵ R: x ≥ 0}.
d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y ≥ 2, o único valor de x ≥ 0 tal que f(x) = y.



Solução:
a) Sabemos que as coordenadas do vértice (xv,yv) de uma parábola é dada pelo par (‒ b/2a, ‒ ∆/4a), onde a e b são coeficientes da função ax² + bx +c; e ∆ (delta) = b² ‒ 4ac.

Portanto, temos:  

a = 1
b = m
c = 2


b)
Como a > 0 (a = 1) a concavidade está virada para cima, então o conjunto imagem Im é:

 


Para ter {y ϵ R / y ≥ 1} contido no conjunto Im, basta impor yv ≤ 1, então:



c)
Para Im = {y ϵ R / y ≥ 1} e f crescente no {x ϵ R / x ≥ 0} devemos ter:




d)
Para m = 2, temos f(x) = x² + 2x +2.
Logo, se x ≥ 0 e y ≥ 2, temos:




Como para cada y ≥ 2 existe apenas um único x ≥ 0, como podemos ver no gráfico, então:





EX-07 (FUVEST 2010)
Determine a solução (x, y), y > 1, para o sistema de equações:


Solução:


(II) em (I)



Como y > 1, então, o par (x,y) procurado é: (11, 2)





EX-08 (FUVEST 2011)
Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade:

Solução:

Primeiramente, as condições de existência:


Resolvendo:
 

Como 1+ x > 0, logo, podemos multiplicar todos os membros por 4.(1+x), para facilitar as manipulações algébricas:

Fazendo a intersecção de (1) e (2), temos:





EX-09 (FUVEST 2012)
Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade |x² ‒ 10x + 21| ≤ |3x – 15|.

Solução:
A idéia é esboçar o gráfico para responder a questão.

Determinando as intersecções entre as curvas |x² ‒ 10x + 21| e |3x ‒ 15|:
Então, temos:

x² ‒ 10x + 21 = 3x ‒ 15   ou  x² ‒ 10x + 21 = ‒ 3x + 15   →

→  x² + 3x + 36 = 0  ou  x² ‒ 7x + 6 = 0   →  (x ‒ 4)(x ‒ 9) = 0  ou  (x ‒ 1)(x ‒ 6) = 0  →

→  x = 4  ou  x = 9  ou  x = 1  ou  x = 6


Esboçando o gráfico das funções:


Do gráfico podemos concluir que desigualdade |x² ‒ 10x + 21| ≤ |3x – 15| é verdadeira para:
1 ≤ x ≤ 4  ou   6 ≤ x ≤ 9




EX-10 (FUVEST 2014)
Dados m e n inteiros, considere a função f definida por:
para x ≠ ‒ n.

(a) No caso em que m = n = 2, mostre que a igualdade f(√2) = √2 se verifica.
(b) No caso em que m = n = 2, ache as intersecções do gráfico de f com os eixos coordenados.
(c) No caso em que  m = n = 2, esboce a parte do gráfico de f em que x > ‒ 2, levando em conta as informações obtidas nos itens (a) e (b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
(d) Existe um par de inteiros (m, n) ≠ (2, 2) tal que a condição f(√2) = √2 continue sendo satisfeita?


Solução:
(a)  m = n = 2



(b)

Como f(x) = 0 ↔ 2 – 2/(x + 2) = 0  ↔  x = –1 e f(0) = 2 – 2/(0 +2) =1, os pontos de intersecção de f com os eixos coordenados são (–1; 0) e (0; 1).  Veja a figura.



(c)
O gráfico de f para  m = n = 2 e x > –2, fica como:


d)



Como (m + 2 – 2n ) ϵ Z e (2 – n) ϵ Z, a igualdade será satisfeita se, e somente se,

(m + 2 – 2n) = 0 e (2 – n) =0 

Portanto, n = 2 e m = 2 → m = n = 2

Logo, não existe (m, n) (2, 2) tal que f(2) = 2. (o que se pode verificar no gráfico do item anterior).




EX-11 (FUVEST 2015)
Resolva as inequações:

a) x³ ‒ x² ‒ 6x > 0;

b) log2 (x³ ‒ x² ‒ 6x) ≤ 0


Solução:
a)
Vamos procurar as raízes da equação x³ ‒ x² ‒ 6x = 0.


Assim, o gráfico é:



Pelo gráfico, temos:

6x > 0 2 x 0 ou x > 3

Assim, o conjunto solução da inequação é:



b)
log2 (x³ ‒ x² ‒ 6x) ≤ 2
x³ ‒ x² ‒ 6x  ≤  2²  ↔  x³ ‒ x² ‒ 6x ≤ 4  ↔  x³ ‒ x² ‒ 6x ‒ 4 ≤ 0   (1)

Vamos considerar a equação x³ ‒ x² ‒ 6x ‒ 4 = 0, cuja raiz igual a ‒ 1; pois

(‒ 1)³ ‒ (‒ 1)² ‒ 6.(‒ 1) ‒ 4 = 0.

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos que:


Logo,
x³ ‒ x² ‒ 6x ‒ 4 = 0  ↔  (x + 1)(x² ‒  2x ‒ 4) = 0 ↔ (x + 1) = 0 ou (x² ‒ 2x ‒ 4) = 0
Portanto,
x = ‒ 1 ou x = 1 + √5 ou x = ‒ √5
Colocando no gráfico, temos:



Solução da inequação 6x 4 0  é: x 1 5, ou  1 x 1 + 5

 
Verificando a condição de existência: x³ ‒ x² ‒ 6x > 0  (= item a da questão)
6x > 0 2 x 0 ou x > 3



Logo, o conjunto solução da inequação é:



Respostas:

 




EX-12 (FUVEST 2015)
A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,


(a) Esboce o gráfico f para 0 ≤ x ≤ 6.
(b) Encontre os valores de x, 0 ≤ x ≤ 6, tais que f(x) = 1/5.


Solução:
(a)
0 ≤ x ≤ 6 →  n = 1, 3, 5

A) Para 0 ≤ x ≤ 2, temos n = 1 e f é definida por:


B) Para 2 ≤ x ≤ 4, temos n = 3 e f é definida por:



C) Para 4 ≤ x ≤ 6, temos n = 5 e f é definida por:



Assim, o gráfico de f para 0 ≤ x ≤ 6 é:


b)
Se 0 ≤ x ≤ 6 e f(x) = 1/5; do item a, temos:


Pelo gráfico temos:



Portanto, temos:




EX-13 (FUVEST 2016)
Considere as funções f e g definidas por:


a) Calcule f(3/2), f(2), f(3), g(-4), g(0) e g(2).
b) Encontre x, 1< x < 4, tal que f(x) = g(x).
c) Levando em conta os resultados dos itens a) e b), esboce os gráficos de f e g no sistema cartesiano impresso na página de resposta.

Solução:

a)


b)
x, 1 < x < 4 tal que f(x) = g(x).


Como x = 0 não convém, portanto a resposta é x = 7/4, pois 1 < x < 4.



c)



EX-14 (FUVEST 2016)
A figura abaixo representa o gráfico de uma função f:[‒5,5]. Note que f(‒5)=f(2) = 0. A restrição de f ao intervalo [‒5, 0] tem como gráfico parte de uma parábola com vértice no ponto (‒2, ‒3); restrita ao intervalo [0,5], f tem como gráfico um segmento de reta.


Os sistemas de eixos da folha de respostas



a) Calcule f(‒1) e f(3);


Usando os sistemas de eixos da folha de respostas, esboce:

b) o gráfico de g(x) = |f(x)|, x ϵ [‒5,5];

c) o gráfico de h(x) = f(|x|), x ϵ [‒5,5].


Solução:

Para a parábola:
Se uma das raízes é ‒ 5 e a abscissa do vértice é ‒ 2, por simetria, a outra raiz é 1, assim:

f(x) = a.(x+5).(x‒1), para x ϵ [‒ 5, 0]
Vértice: (‒2, ‒3), portanto; para calcular o valor de a, temos:

f(‒2) = ‒3 ↔ a.(‒2+5).(‒2‒1) = ‒3 ↔ a.(3).(‒3) = ‒3 ↔ a = 1/3

Logo: f(x) = 1/3.(x+5).(x1), para x ϵ [‒5, 0]


Para reta:
Para o intervalo [0, 5] a reta é do tipo f(x) = mx + n.

Da equação da reta:
f(2) = 0 ↔ 0 = m.2 + n ↔ 2m + n = 0

Da equação da parábola:
f(0) = 1/3.(0 + 5).(0 ‒ 1) = ‒ 5/3 ↔ f(0) = ‒ 5/3
Da equação da reta:
f(0) = m.0 + n, então, ‒ 5/3 = n ↔ n = ‒ 5/3

0 = 2m + n
                        ˃  0 = 2m ‒ 5/3  ↔ 2m = 5/3  ↔ m = 5/6
n = ‒ 5/3 

Logo a equação da reta é:  f(x) = 5/6x 5/3 para x ϵ [0, 5]


Resumindo:


a)
f(‒1) = 1/3.(‒1+5).(‒1‒1) = ‒ 8/3 ↔ f(‒1) = ‒ 8/3

f(3) = 5/6.3 ‒ 5/3 = 5/6 ↔ f(3) = 5/6

b)
Se f(x) ≥ 0, então g(x) = |f(x)| = f(x), assim o gráfico de f e g são iguais.

Se f(x) ≤ 0, então g(x) = |f(x)| = ‒ f(x), assim o gráfico de g é o gráfico e f rebatido entorno do eixo das abscissas.

Portanto, o gráfico fica:



c)
Se x ≥ 0, então h(x) = f(|x|) = f(x), assim  h e f têm o mesmo gráfico.
Se x ≤ 0, então h(x) = f(|x|) = f(‒x) = ‒ 5/6x ‒ 5/3, assim o gráfico de h(x) é a função f(x) rebatido entorno do eixo das ordenadas, para intervalo [0,5].

Portanto o gráfico fica:













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