Matemática-2016: FUVEST-Geometria Analítica Ex.Resolvidos-1

Ex-01 (FUVEST 2001)

A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r : y = 5x – 13 e um de seus catetos está contido na reta s: y = x – 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k,5) sobre a reta s, determine:

a) todos os vértices do triângulo;

b) a área do triângulo.

Solução:

Desenhando no plano cartesiano os dados do enunciado, tem-se:

Como o vértice A (k,5) pertence à reta s, então, podemos escrever que:

O vértice C é a intersecção das retas r e s, então:

Para determinar as coordenadas do vértice B(x,y), vamos aplicar o conceito de distância de dois pontos e Teorema de Pitágoras, por se tratar de um triângulo retângulo.

Distância entre 2 pontos:

Teorema de Pitágoras:

Os vértices são: A(6,5), B(4,7), C(3,2)

b) Área do triângulo ABC:

Sabemos que a área é igual à metade, em módulo, do determinante dos vértices.

Outra opção para resolver o item (a):

Para determinação dos vértices A e C – é o mesmo.

Porém, para calcular o vértice B vamos aplicar o conceito de perpendicularidade de duas retas.

Seja m o coeficiente angular da reta, então, tem-se:

Ex-02 (FUVEST 2002)

Sejam A=(0,0), B=(8,0) e C=(-1,3) os vértices de um triângulo e D=(u,v) um ponto do segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de intersecção de AC com a reta que passa por D e é paralela ao eixo dos x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.

Solução:

Determinar a equação da reta r, para expressar as coordenadas do ponto D em termos de u:

Determinar a equação da reta s, para expressar as coordenadas do ponto F em termos de u:

O quadrilátero AEDF é um trapézio, portanto, a área é expressa por:

onde h = altura, B = base maior e b = base menor

Calculando h, B e b:

Calculando o valor de u, para que a área do trapézio AEDF seja máxima:

A área é máxima, para abscissa do vértice. Igualando a zero a primeira derivada da expressão da área (=equação do segundo grau) tem-se este valor.

Respostas:

Ex-03 (FUVEST 2003)

a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m>0. A circunferência C passa pelos pontos (1,0) e (3,0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C.

Solução:

Logo:

Equação da circunferência C = (2,0) e raio = 1:

Equação da reta r:

Seja (x, y) um ponto genérico da reta r e passa pela origem A = (0,0).

Então, a equação da reta r é:

Outra opção para fazer o item (a):

Os pontos (1,0) e (3,0) pertencem ao eixo x; e, pelo enunciado, estes pontos pertencem à circunferência e, também, o centro pertence ao eixo x, então C = (a,0).

C = (2,0); pois a = (1+3)/2 = 2

E como a reta passa pela origem temos: y = mx

Logo: ‒ mx + y = 0

A reta r é tangente no ponto T, portanto, o ângulo OTC é reto, logo podemos calcular o coeficiente angular m, aplicando o conceito de distância de ponto à reta. Da seguinte forma:

d = distância do ponto C à reta r (y = mx ↔ ‒ mx + y = 0) = raio da circunferência = 1

Genericamente C = (x₀,y₀), então, temos que:

Como m > 0, então,

b) Como pelo enunciado

a reta r é secante à circunferência.

h = distância do centro C = (2,0) à reta mx – y = 0

Aplicando Pitágoras no Δ_AMC, temos:

Logo a área é igual à:

Ex-04 (FUVEST 2004)

Na figura ao lado, os pontos A,B e C são vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo reto. Sabendo-se que A = (0,0), B pertence à reta x – 2y = 0 e P = (3,4) é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC, determinar as coordenadas:

a) do vértice B.

b) do vértice C.

Solução:

Calculando o valor do raio, aplicando o conceito de distância (mínima) de um ponto à reta; sendo P = (3,4) e reta AB: x – 2y = 0

Determinando as coordenadas do ponto T₁:

O ponto T₁ é a intersecção da circunferência com a reta AB.

A hipotenusa AT₁, pode ser calculada utilizando Pitágoras:

E como T₁B = √5, então, o lado AB (hipotenusa) é igual a:

Determinando as coordenadas do vértice B.

Os triângulos ΔADT₁ e ΔAEB são semelhantes, então, temos que:

O vértice C é a intersecção das retas AC e BC.

Determinando a equação da reta AC:

O m(AC) = 1/2 não pode ser, pois, é o coeficiente angular da reta AB; portanto, a equação da reta AC é:

Determinando a equação da reta BC:

A reta BC passa pelo ponto B = (6,3) e tem coeficiente angular m_BC = -2 (pois, m_AB*m_BC = ‒ 1 e m_AB = 1/2).

Seja coordenada do vértice C = (x,y), então temos:

O vértice C é a intersecção das retas AC e BC, então:

Ex-05 (FUVEST 2005)

A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se no ponto D. Suponha que:

a) As retas t₁ e t₂ são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C.

b) A reta t₂ é tangente às circunferências no ponto D.

Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r.

Solução:

Sabemos que todas as retas tangentes a uma circunferência, são também, perpendiculares ao raio no ponto de tangência.

Sejam E e F os pontos de tangência da reta t₁ às circunferências:

Então temos que a reta AC é a bissetriz do ângulo FAD e a reta BC é a bissetriz do ângulo ECD.

Logo, temos que: 2α + 2β = 180º, então, α + β = 90º, portanto, o ΔABC é retângulo em C.

Sabemos que a altura de um triângulo retângulo é igual à média geométrica entre as medidas dos segmentos que determina sobre a base (=hipotenusa do ΔABC).

Portanto,

E como

Então,

Ex-06 (FUVEST 2005)

Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a área do triângulo retângulo ABC é 5/2, determine o valor de m.

Solução:

Os triângulos AOD e ABC são semelhantes.

No triângulo AOD:

Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que:

Como os triângulos ABC e AOD são semelhantes, então, temos a seguinte relação de proporcionalidade:

Ex-07 (FUVEST 2006)

A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do triângulo OAB.

Solução:

Do enunciado, temos a seguinte figura:

É dada a seguinte informação:

Então,

Assim:

Portanto,

Resposta:

Outra maneira de resolver o problema:

Da figura, temos:

Do enunciado, temos:

Portanto,

De (1) e (2), temos:

Resposta:

Ex-08 (FUVEST 2006)

a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais os gráficos de y = 12/x – 1 e x + y – 6 = 0 se interceptam.

b) sendo O a origem, determine o ponto C no quarto quadrante que satisfaz AÔB = ACB e que pertence à reta x = 2.

Solução:

Assim, os gráficos se interceptam nos pontos A (3,3) e B (4,2).

A reta AO possui coeficiente angular m_AO = 3/3 = 1 e a reta AB possui o coeficiente angular de m_AB = ‒ (3 ‒ 2)/(4 ‒ 3) = ‒ 1, então o triângulo AOB é retângulo em A. Portanto, o ponto P (2,1) é o centro da circunferência que passa pelos ponto A, B e O e o segmento BO é o diâmetro da circunferência.

Calculando o raio da circunferência; por Pitágoras temos:

OP² = 1² + 2² → OP = √5

Sabendo-se que os ângulos AOB e ACB são iguais e que o ponto C pertence à reta x=2, então podemos concluir que este ponto pertence à circunferência que passa pelos pontos O, A e B e que o ponto C é o ponto de menor ordenada dessa circunferência.

Nota: todos e quaisquer pontos que pertencem ao arco AOB enxergam o segmento AB sob o mesmo ângulo; pois o arco AOC é o arco capaz. Um arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que enxergam um segmento AB num determinado ângulo.

Agora, vamos determinar as coordenadas do ponto C:

O segmento CP = √5, portanto a ordenada do ponto C é igual a ‒ (√5 ‒ 1) = 1 ‒ √5, logo, C = (2, 1 ‒ √5)

Resposta:

a) A (3,3) e B (4,2)

b) C = (2, 1 ‒ √5)

Ex-09 (FUVEST 2007)

Na figura ao lado, os pontos A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ são vértices de um hexágono regular de lado 3 com centro na origem O de um sistema de coordenadas no plano. Os vértices A₁ e A₄ pertencem ao eixo x. São dados também os pontos B = (2,0) e C = (0,1).

Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine

a) a equação da reta OP.

b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono.

Solução:

Do enunciado, temos:

Portanto, a equação da reta OP é:

Seja B = (x_B, y_B) e como B pertence à reta OP, então temos:

B = (2y_B,y_B)

O coeficiente angular da reta A₁A₂é igual a m = tg 120º = ‒ √3, então temos:

O ponto B pertence à reta OP, portanto:

O ponto B e C são simétricos em relação à origem (ponto O),

Ex-10 (FUVEST 2008)

São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x² + y² = 5, o ponto P = (1, √3) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim determine

a) a reta tangente à circunferência no ponto E.

b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

Solução:

Montando a figura conforme o enunciado, temos:

a) Vamos inicialmente determinar as coordenadas do ponto E:

O ponto E é a intersecção da circunferência com a reta s, então,

A equação da reta r (reta OE) é:

A reta t tangente a circunferência em E é perpendicular a reta r, portanto, temos:

Seja a equação da reta t: y=m_t.x+a, então, temos:

E a distância do ponto P = (0,0) até esta reta é d = √5 (=raio), então temos:

Portanto a equação da reta t é:

Encontro das retas que contém as alturas do triângulo EOP:

O ponto H é o ponto de encontro das três retas que contém as alturas do triângulo EOP.

O coeficiente angular da reta OP (reta z) é:

O coeficiente angular da reta u (perpendicular) que contém a altura do triângulo EOP e que passa pelo ponto E é:

Portanto, a equação da reta u que contém a altura do triângulo EOP e que passa por E = (1,2) é:

O ortocentro (ponto H) do triângulo EOP é ponto de intersecção da reta w de equação y=0 (altura do triângulo EOP que passa pelo ponto O) e da reta u de equação x+√3y‒2√3‒1=0 (altura do triângulo EOP que passa pelo ponto E). Nota: obrigatoriamente, a altura do triângulo EOP que passa pelo ponto P, a reta v, passa em H.

Resposta:

a) x + 2y ‒ 5 = 0

b) (2√3 + 1; 0)

Ex-11 (FUVEST 2009)

No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem o centro no ponto A = (‒5, 1) e é tangente à reta t de equação 4x ‒ 3y ‒ 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox. Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P;

b) Escreva uma equação para a circunferência C;

c) Calcule a área do triângulo APQ.

Solução:

Fazendo o desenho de acordo com o enunciado, temos:

Determinando a equação da circunferência, para determinar o ponto de intersecção P (=ponto tangente) com a reta t.

Raio da circunferência = distância do ponto A a reta t; então temos:

Determinando as coordenadas do ponto P (=ponto comum entre a reta t e a circunferência):

Uma equação da circunferência:

São conhecidas as coordenadas de todos os vértices do triângulo:

As coordenadas do ponto Q: y = 0 → 4x - 3*0 – 2 =0 → x = 1/2

A = (-5,1); P = (-1,-2); Q = (1/2,0)

Ex-12 (FUVEST 2010)

No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função

Nessas condições, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de intersecção da circunferência com o gráfico da função.

b) a área do pentágono OABCD.

Solução:

De (2), temos:

Em (1), temos:

A área do pentágono OABCD é igual à área do trapézio ABCD somado à área do triângulo ADO.

A área do trapézio ABCD:

A área do triângulo ADO:

A área do pentágono OABCD é:

Ex-13 (FUVEST 2014)

Considere a circunferência λ de equação cartesiana x²+y²-4y=0 e a parábola α de equação y=4‒x².

a) Determine os pontos pertencentes à intersecção de λ com α.

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações: x²+y²-4y ≤ 0 e y ≥ 4-x².

Solução:

O conjunto de pontos (x,y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações x²+y²-4y≤0 e y≥4-x² corresponde às áreas preenchidas de azul escuro.

Ex-14 (FUVEST 2015)

Na figura, na página de respostas, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no ponto D e tangencia a reta AB no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD=2r e o ângulo ACO é reto. Determine, em função de r