Polinômio

Definição

Dada a sequência de números complexos  (a₀, a₁, a₂, ..., a_n), consideremos a função: f: C→ C  dada por f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ.  A função f é denominada função polinomial ou polinômio associado à sequência dada.

O números a₀, a₁, a₂, ..., a_n  são chamados coeficientes e as parcelas = a₀, a₁x, a₂x², ..., a_nxⁿ  são chamados termos do polinômio f.

Exemplos:

Definição

Dados o número complexo a e o polinômio f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ, chama-se valor numérico de f em a a imagem de a pela função f, isto é:

Assim, por exemplo, se f(x) = 2 + x + x² + 3x³, temos:

Em particular, se a é um número complexo e f  (f = f(x)) é um polinômio tal que f(a) = 0, dizemos que a é uma raiz ou um zero de f.

Por exemplo, os números ‒ 2 e ‒ 1 são raízes de f(x) = 2x + 3x² + x³, pois:

f(‒2) = 2(‒2) + 3(‒2)² + (‒2)³ = 0

f(‒1) = 2(‒1) + 3(‒1)² + (‒1)³ = 0

POLINÔMIO NULO

Definição

Um polinômio f é nulo (ou identicamente nulo) quando f assume o valor numérico zero para todo x complexo.  Em símbolos, tem-se:

Teorema

Um polinômio f é nulo se, e somente se, todos os coeficientes de f forem nulos.  Em símbolos, sendo f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + a_nxⁿ, tem-se:

IGUALDADE DE POLINÔMIOS

Definição

Dois polinômios f e g são iguais (ou idênticos) quando assumem valores numéricos iguais para todo x complexo.  Em símbolos, tem-se:

Teorema

Dois polinômios f e g são iguais se, somente se, os coeficientes de f e g forem, ordenadamente iguais. Em símbolos, tem-se: