Volume de Esfera

Seja um cilindro equilátero de altura 2R e uma esfera de raio R como mostra a figura (Fig-1).

Retirando do cilindro os dois cones brancos, restando um sólido verde. Vamos mostrar que as secções do sólido verde e da esfera produzidas por um plano paralelo às bases do cilindro possuem a mesma área.

O plano α é o plano paralelo e coincidente à base do cilindro (é o plano da base, referência).  E seja o plano β, qualquer, paralelo ao plano α que secciona o sólido verde e esfera.

Vamos demonstrar que as duas áreas, em azul, são iguais:

 Cilindro

A área da coroa é dada por:

Esfera

A área do círculo é dada por:

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OCD, tem-se:

Logo,

Portanto,

Princípio de (Bonaventura) Cavalieri estabelece que: Dois sólidos que tiverem a mesma altura e, sempre que seccionados por um mesmo plano gerarem áreas iguais, terão o mesmo volume.

Retornando ao nosso problema.

Qualquer que seja a posição do plano β, temos sempre a igualdade

Então, de acordo com Cavalieri, a esfera é o sólido (em verde) possuem o mesmo volume.  Em outras palavras: o volume da esfera é igual ao volume do sólido que sobrou ao retirarmos os dois cones do volume do cilindro. 

Demonstração da fórmula do Volume da Esfera, utilizando o conceito de integral.

Por Pitágoras: 

O volume diferencial é dado por:

Logo,

Representação de Corrente Alternada

(Circuitos Elétricos)

Propriedades de senóides.

         Onda senoidal  [é uma função periódica: v(t) = v (t + T)]

Onde,

         Vp (volts) → valor de pico

         ω (rad/s) → freqüência angular

         T = 2π/ω (s) → período

         f = 1/T = ω/2π → frequência

           Expressão geral:

 

             Onde φ é o ângulo de fase.

Curva de uma senóide defasada de φ radianos

Curvas de seno e cosseno 

Curvas de seno e cosseno defasados de (π/2)

Cálculo numérico da raiz quadrada - Método de Herão

Processo para calcular numericamente uma raiz quadrada de um número qualquer. As calculadoras, computadores e microprocessadores aplicam este método para extração de raiz quadrada numérica, porque converge muito rápido para o resultado.

Herão foi um matemático de destaque de Alexandria na antiguidade.

Este método é para quando se tem apenas calculadora com 4 operações aritméticas.

Calcular a seguinte raiz:

Seja y₀ a primeira aproximação da raiz quadrada de Y, então temos para a próxima aproximação melhor:

Para melhorar a aproximação devemos fazer a nova iteração:

E, assim, para n-ésima iteração, tem-se:

Quanto mais iterações, tem-se mais precisão na aproximação.

ALGORITMO

Após a escolha da aproximação inicial y₀, podemos construir o seguinte algoritmo:

Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3,..., encontramos uma raiz y_k mais próxima à raiz de Y.

A escolha da aproximação inicial:

Escolher o valor correspondente ao quadrado perfeito mais próximo, para que se tenha uma convergência mais rápida.

Exemplo:

Calcular a raiz de 499.

Conversão Retangular para Polar e de Polar para Retangular.

Utilizar estes procedimentos quando uma calculadora não oferece estas funções.  Porém, a calculadora deve ter funções básicas de trigonometria.

Para melhor visualização vamos representar o número complexo no Plano Argand-Gauss.

É prudente sempre desenhar o número complexo no plano Argand-Gauss, para certificar a localização nos quadrantes.

1) Conversor de RETANGULAR para POLAR.

2) Conversor de POLAR para RETANGULAR.

Fórmula de De Moivre

Esta fórmula estabelece uma ligação entre a trigonometria e números complexos.

A fórmula de Moivre estabelece que:

Seja um número complexo na forma trigonométrica:

z = │z│_* (cosx + j.sinx),

então,

Exemplo de aplicação:

Dado o complexo z = – 2 – 2i, calcule z¹⁰.

Seja o número complexo no formato (z = x + yi), então temos:

Como o número complexo se localiza no 3º quadrante:

Logo,

Números complexos-Ex.Resolvidos-1

Resoluções no final desta lista

1) (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

     

a)     1

b)     2

c)      3

d)     4

e)     infinito

2) (FUVEST) Sabendo que k é um número real e que a parte imaginária do número complexo z=(2+i).(k+2i)^-1 é zero, então k é igual a:

a)     – 4

b)     – 2

c)      1

d)     2

e)     4

3) (FUVEST) Dado o número complexo z = √3 + i, qual o menor valor do número inteiro n > 0 para o qual zⁿ é um número real?

a)     2

b)     4

c)      6

d)     8

e)     10

4) Converta de forma retangular para polar.

      z = 20 – j10

5) Converter de forma retangular para polar:

      z = 10 + j15

6) (FEI-67) Escrever o número complexo 

na forma (a + bi) e na forma trigonométrica.

7) (MACK-70) Escreva na forma trigonométrica o inverso multiplicativo de (1+i√3).

8) Colocar na forma polar o seguinte número complexo:

9) Dados os números complexos

     

      z₁ = ρ_1*(cosθ₁ + i_*senθ₁)

      z₂ = ρ_2*(cosθ₂ + i_*senθ₂)

     determinar │z₁ + z₂│ e mostrar que │z₁ + z₂│≤ │z₁│+│z₂│

10) Transformar na forma polar o número complexo:

Soluções

1)     Desenvolvendo o binômio, temos:

      (a+1)⁴ = (a+1)².(a+1)²= (a²+2ai+i²).(a²+2ai+i²)= a⁴+4a³i-6a²+1 =

     

      (a⁴ - 6a² + 1) + (4a³ - 4a)i

      Para que tenhamos um número real, a parte imaginária tem de ser zero.

      Logo,

      (4a³ - 4a) = 0 ↔ 4a(a² - 1) =0 ↔ 4a = 0, ou a² - 1 = 0

     

      Portanto,

      a = 0, ou a = 1, ou a = -1

            Resposta: Existem 3 valores de a que torna (a+i)⁴ um número real e, portanto, a alternativa correta é a letra C.

2)     Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do número complexo (k+2i); e sabemos que i² = - 1; temos:

      Para que a parte imaginária seja zero: (k-4) = 0, portanto, k = 4

      Resposta: A alternativa correta é E.

3)     O segredo deste tipo de problema é trabalhar com número complexo na forma trigonométrica (forma polar)

      Portanto, o número complexo na forma polar (trigonométrica) é:

      z = 2.(cos30º + i.sen30º)

     

      Aplicando a fórmula de Moivre, temos:

      zⁿ = 2ⁿ(cos(30º.n) + isen(30º.n))

     

      Para que zⁿ seja um número real, devemos ter a sua parte imaginária nula, isto é: sen(30º.n) = 0

      Por outro lado, para que o seno de um ângulo seja zero, devemos ter um ângulo na forma k.180º, onde k é um número inteiro.

      Logo,  n.30º = k.180º  → n.30º = k.6.30º  → n = 6k

      Como k é um número inteiro (k = ..., -1, 0, 1, 2, 3, ...), portanto,

      n = ..., -12, -6, 0, 6, 12, 18, ...

      O enunciado pede o menor valor positivo de n, portanto, concluímos que n = 6.

     

      Resposta: A alternativa correta é a letra C.

4)     O segredo para não errar a localização do ângulo é sempre bom colocar o número complexo no plano imaginário x real.

             Observamos que está no IV quadrante.

5)     Fazendo o gráfico de Argand-Gauss:

       Está no I quadrante.

       Portanto,

6)  Multiplicando pelos respectivos conjugados para eliminar os i’s no denominador:

       Portanto, na forma z = a + bi é:

             Agora vamos escrever na forma trigonométrica:

              (No plano de Argand-Gauss)

                A forma trigonométrica é: z = │z│. (cosϕ + i.senϕ), portanto,

7)   Sabemos que em matemática o inverso multiplicativo de um número x é o número y que multiplicado por x, gera a identidade.

      Então,

       No plano de Argand-Gauss:

         Logo, na forma trigonométrica é:

8)   Representando no plano Argand-Gauss, temos:

9)

10)

      Colocando no plano Argand-Gauss

      Portanto: